Linear Algebra Archives - Team's Notebook

การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination)

admin — Mon, 10 Aug 2020 07:38:06 +0000

เราสามารถหาคำตอบสมการเชิงเส้น โดยการจัดรูปสมการให้เป็นเมทริกซ์แต่งเติม และใช้การดำเนินการแบบแถวเบื้องต้น เพื่อหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดซึ่งสมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม เราเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) และถ้าเราลดรูปเมทริกซ์แต่งเติมจนได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป ซึ่งเราสามารถอ่านค่าของตัวแปรได้ทันที เราจะเรียกวิธีการนี้ว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) วิธีการกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) จงจัดรูปเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 1 เป็นศูนย์ ให้สลับแถวบนสุดกับแถวใดๆ เพื่อให้เลขในหลักบนสุดไม่เป็นศูนย์ ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 1 มีค่า ให้คูณแถวแรกด้วยค่า เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1 หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของหลักในข้อ 1 เป็นศูนย์ทั้งหมด ในตอนนี้ เราได้ทำแถวแรกเสร็จแล้ว ให้กลับไปเริ่มทำข้อ 1 ใหม่ กับเมทริกซ์ย่อยที่เหลือ (แถวที่ 2 จนถึงแถวสุดท้าย) และทำต่อไปเรื่อยๆจนได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด (ของเมทริกซ์ย่อย) ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักในข้อ 5.1 มีค่า ให้คูณแถวแรก (ของเมทริกซ์ย่อย) ด้วยค่า เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1 หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้สมาชิกที่อยู่ใต้สมาชิกนำของหลักในข้อ 5.1 เป็นศูนย์ทั้งหมด ตอนนี้ เราได้ทำ 2 แถวแรกเสร็จแล้ว ให้กลับไปเริ่มทำข้อ 1 ใหม่ กับเมทริกซ์ย่อยที่เหลือ (แถวที่ 3) หาหลักซ้ายสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด (ของเมทริกซ์ย่อย) ถ้าเลขแถวบนสุดของหลักมีค่า ให้คูณแถวแรก (ของเมทริกซ์ย่อย) ด้วยค่า เพื่อทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1 เราได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแล้ว เราสามารถทำต่อให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปได้ วิธีการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) จงจัดรูปเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป เริ่มจากแถวล่างสุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด และไล่ทำขึ้นมาเรื่อยๆ ให้หาตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อทำให้เลขในหลักที่อยู่บนสมาชิกนำเป็นศูนย์ทั้งหมด เราได้เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูปแล้ว สรุป การจัดรูปเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูป เราเรียกว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) ซึ่งวิธีนี้ประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรกคือการทำให้สมาชิกนำมีค่าเป็น 1 และเลขที่อยู่ใต้สมาชิกนำมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด และส่วนที่สองคือการทำให้เลขที่อยู่เหนือสมาชิกนำมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งถ้าเราทำเฉพาะส่วนแรก

The post การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination) appeared first on Team's Notebook.

เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป

admin — Fri, 07 Aug 2020 03:46:35 +0000

ก่อนอื่น เราจะต้องเข้าใจความหมายของคำว่าสมาชิกนำ และเมทริกซ์รูปแบบขั้นบันได ก่อน สมาชิกนำ (Leading coefficient) ในแต่ละแถวของเมทริกซ์ เราจะเรียกสมาชิกตัวแรกที่อยู่ทางซ้ายสุด และไม่ใช่ศูนย์ว่า สมาชิกนำ ให้ A เป็นเมทริกซ์ดังข้างล่าง สมาชิกนำในแต่ละแถวคือ ที่ไฮไลท์สีเหลือง คือ 2, 7, -3, และ 5 เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได (Row echelon form matrix) เราจะเรียกเมทริกซ์ A ว่ามีรูปแบบขั้นบันได ถ้า A มีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ ถ้ามีแถวใดที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ทั้งหมด แล้วแถวที่อยู่ต่ำกว่าแถวนั้นๆต้องเป็นศูนย์ทั้งหมดเช่นกัน สำหรับแถวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด สมาชิกนำของแถวที่อยู่ต่ำกว่า จะต้องอยู่ในหลักทางขวามือของสมาชิกนำของแถวที่สูงกว่าเสมอ ถ้าสมาชิกนำของแถวอยู่ในหลักใด แล้วสมาชิกในหลักนั้นที่อยู่ต่ำกว่าสมาชิกนำต้องเป็นศูนย์ A เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได B ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เพราะสมาชิกนำในแถวที่ 2 ไม่ได้อยู่ในหลักทางขวาของสมาชิกนำในแถวที่ 1 C ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เพราะแถวที่ 3 มีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่อยู่ต่ำกว่าแถวที่ 2 ซึ่งมีสมาชิกเป็นศูนย์ทั้งหมด D ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได เพราะมีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่ในหลักเดียวกันกับสมาชิกนำซึ่งอยู่ในแถวที่สูงกว่า เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป (Reduced row echelon form matrix) เราจะเรียกเมทริกซ์ A ว่ามีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได และมีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ สมาชิกนำของแถวที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ต้องเป็น 1 ถ้าสมาชิกนำของแถวอยู่ในหลักใด แล้วสมาชิกตัวอื่นในหลักนั้นต้องเป็นศูนย์ A เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป B เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันได แต่ไม่เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป เพราะสมาชิกนำในแถวที่ 2 อยู่ในหลักที่ 2 แต่สมาชิกในหลักที่ 2 ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด C เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป แบบฝึกหัด จงบอกว่าเมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป หรือ ที่มีรูปแบบขั้นบันได หรือ ไม่เป็นทั้งสองอย่าง

The post เมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดลดรูป appeared first on Team's Notebook.